Question

（14分）设上的两点，

已知，，若且椭圆的离心率

短轴长为2，为坐标原点.

     (Ⅰ)求椭圆的方程；

    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）

椭圆的方程为       ……………………3分

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为

 

由已知得：                                   

    ……7分

(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由得……………………8分

又 在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值……………………9分

 

（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

                            ……………………10分

                  ………………………………………12分    

所以三角形的面积为定值.        ………………………………………14分