Question

10．已知直角梯形ABEF，∠A=∠B=90°，AB=1，BE=2，AF=3，C为BE的中点，AD=1，如图（1），沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体（如图2）
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小．
（2）求过A、B、C、D、E这五个点的球的表面积．

Answer 1

分析 （1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与EF所成角的大小．
（2）连结AE，取中点为G，连结GA，GB，GC，GD，GE，得到DG长为所求球的半径，由此能求出过A、B、C、D、E这五个点的球的表面积．

解答 解：（1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，2）
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
设异面直线BD与EF所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴异面直线BD与EF所成角的大小为$\frac{π}{3}$．
（2）连结AE，取中点为G，连结GA，GB，GC，GD，GE，
由已知得GA=GB=GC=GD=GE，
所以DG长为所求球的半径，
G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DG}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴r=|$\overrightarrow{DG}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴过A、B、C、D、E这五个点的球的表面积：
S=$4π{r}^{2}=4π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3π．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．