Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3；
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）首先设出椭圆的方程，利用点到直线的距离求出椭圆的方程．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用弦长公式求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：

x2

a2

+y2=1，右焦点F（C，0），
∵右焦点F到直线x-y+2

2

=0的距离为3，
∴

|c+2 2 |

2

=3，
 解得：C=

2

∴所求的椭圆方程为：

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）由

y=kx+1 x2+3y2=3

，
得：（3k+1）x²+6kx=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x1+x2=

6k

3k2+1

，x₁x₂=0，
∵|MN|=2，
∴

1+k2

|x1-x2|=2，
解得：k=±

3

3

．

点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，点到直线的距离公式，直线和曲线的位置关系，弦长公式的应用．