Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+1

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并求其值域；
（3）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）用特值法求出a=2，并验证；
（2）化简f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，观察可知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，从而求函数的值域，
（3）由奇偶性化f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0为f（t²-2t）＜f（-2t²+1），从而利用函数的单调性解答．

解答： 解：（1）因为f（x）是奇函数，
f(1)=-f(-1)知

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +1

1+a

，
解得a=2．
经检验，当a=2时，函数f（x）是奇函数．
（2）由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

．
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
由于函数f（x）的定义域为R，
所以2^x＞0，2^x+1＞1，
因此0＜

1

2x+1

＜1，
所以-

1

2

＜-

1

2

+

1

2x+1

＜

1

2

，
即函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．
（3）因f（x）是奇函数，
从而f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0可化为
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是减函数，由上式推得
t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0，
解不等式可得{t|t＞1，或t＜-

1

3

}．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的值域的求法，属于中档题．