题目内容

8．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（-2，2），求|PB|+|AB|的最小值．

分析 （Ⅰ）由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的极坐标方程能求出直线l直角坐标方程．
（Ⅱ）及民，象，P（-2，2），利用两点意距离公式能求出|PB|+|AB|取最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1．
∵直线l的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$，
ρsinθ+ρcosθ=4，
∴直线l直角坐标方程为x+y-4=0．
（Ⅱ）如图，P关于y=-x+4对称点P′（x，y），
|P′C|-r=P′A=P′A=|P′B|=P′B|+|A′B|，
此时P′BA共成共线，|PB|+|AB|取最小值，

又$\frac{y+2}{2}=-\frac{x-2}{2}+4$，解得x=2，y=6，
∴|PA′|=$\sqrt{36+1}$-1=$\frac{y-2}{x+2}=1$，
∴$\sqrt{37}-1$．
∴|PB|+|AB|的最小值是$\sqrt{37}-1$．．

点评 本题考查直线与曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段和的最小值的求法，是基础题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．

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