Question

如图，在四边形ABCD中，CA=CD=AB=1，=1，sin∠BCD=．
（1）求BC的长；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求sinD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用=1，利用向量的数量积的性质求得cos∠BAC的值，进而求得∠BAC，进而利用余弦定理求得BC的长．
（2）根据（1）可求得BC²+AC²=AB²．判断出∴∠ACB=，进而在直角三角形中求得cos∠ACD的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACD，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACD中利用余弦定理求得AD的长，最后利用正弦定理求得sinD的值．
解答：解：（1）由条件，得AC=CD=1，AB=2．
∵=1，∴1×2×cos∠BAC=1．则cos∠BAC=．
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=．
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=4+1-2×2×=3．
∴BC=．
（2）由（1）得BC²+AC²=AB²．
∴∠ACB=．
∴sin∠BCD==．
∵∠ACD∈∈（0，π），∴．
∴S_△ACD=×1×1×=．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=．
（3）在△ACD中，
AD²=AC²+DC²-2AC•DCcos∠ACD=1+1-2×1×1×=．
∴AD=．
∵，
∴．
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．