题目内容

如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC=60°,AC=7,AD=6,S△ADC=
15
3
2
,求AB的长.
分析:利用三角形的面积公式求出sin∠DAC的值,即得sin∠BAC的值,从而求得cos∠BAC的值.利用两角差的正弦公式求得sin∠ACB=sin(120°-∠BAC)的值.三角形ABC中,利用正弦定理,即可求出AB的长.
解答:解:∵在△ADC中,已知AC=7,AD=6,S△ADC=
15
3
2

则由S△ADC=
1
2
•AC•AD•sin∠DAC=
15
3
2
,∴sin∠DAC=
5
3
14

故 sin∠BAC=
5
3
14
,cos∠BAC=
11
14

由于∠ABC=60°,故sin∠ACB=sin(120°-∠BAC)=sin120°cos∠BAC-cos120°sin∠BAC
=
3
2
×
11
14
-(-
1
2
)×
5
3
14
=
4
3
7

△ABC中,由正弦定理可得
AB
sin∠ACB
=
AC
sin∠B
,即
AB
4
3
7
=
7
3
2
,解得AB=8.
点评:此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,角平分线的性质,三角形的内角和定理,以及两角差的正弦公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题.
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