Question

已知α，β∈（

3

4

π，π），sin（α+β）=-

3

5

．
（Ⅰ）求sin2（α+β）的值；
（Ⅱ）若sin（β-

π

4

）=

3 10

10

，（i）求cos（α+

π

4

）的值（ii）求sin2α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：

分析：（Ⅰ）首先，根据.α，β∈(

3

4

π，π)，得到(α+β)∈(

3π

2

，2π)，进一步求解cos(α+β)=

4

5

，从而利用二倍角公式求解；
（Ⅱ）首先，根据已知条件，得到cos(β-

π

4

)=-

10

10

，然后，利用角的拆分进行计算即可．

解答： 解：（I）∵.α，β∈(

3

4

π，π)，
∴(α+β)∈(

3π

2

，2π)，
由sin(α+β)=-

3

5

，
∴cos(α+β)=

4

5

…（2分）
∴sin2(α+β)=2sin(α+β)cos(α+β)=2(-

3

5

)•

4

5

=-

24

25

…（4分）
（II）由(β-

π

4

)∈(

π

2

，

3π

4

)，sin(β-

π

4

)=

3 10

10

，
∴cos(β-

π

4

)=-

10

10

…（5分）
（i）cos(α+

π

4

)=cos[(α+β)-(β-

π

4

)]=

4

5

•(-

10

10

)+(-

3

5

)•

3 10

10

=-

13 10

50

…（7分）
（ii）sin2α=-cos(

π

2

+2α)=1-2cos2(

π

4

+α)=1-2(-

13 10

50

)2=-

44

125

…（10分）．

点评：本题综合考查了三角恒等变换公式、三角函数等知识的综合运用，属于中档题．理解公式是关键．