Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD，PA⊥AB，N是棱AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求证：PN⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱BC上是否存在动点E，使得BN∥平面DEP？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥平面PAD，再证明：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）证明PN⊥AD，AB⊥PN，利用线面垂直的判定定理证明：PN⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点，证明BN∥DE即可．

解答 （Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，AB⊥AD．…（1分）
又∵AB⊥PA且PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD．…（3分）
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：在△PAD中，PA=PD，N是棱AD的中点，∴PN⊥AD．…（5分）
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PN．…（7分）
又∵AB∩AD=A，∴PN⊥平面ABCD．…（8分）
（Ⅲ）解：在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点．…（10分）
证明如下：
取BC中点E，连接PE，DE．…（11分）
在矩形ABCD中，ND∥BE，ND=BE，
所以四边形BNDE为平行四边形，∴BN∥DE．…（13分）
又∵BN?平面DEP，DE?平面DEP，所以BN∥平面DEP．…（14分）

点评 本题考查线面垂面面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．