Question

4．设函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+$\frac{a}{x}$-m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导根据函数的单调性得到函数的零点为x=3，即可求出a的值，
（2）根据函数的单调性分类讨论即可求出函数f（x）的最大值，即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a为常数，且a＞0），x≠0，
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增，
∴x=3时函数的一个极值点，
∴9-a=0，
解得a=9，
（2）不等式x+$\frac{a}{x}$-m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，
即m≥x+$\frac{a}{x}$在[1，4]上恒成立，
∵f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
当0＜a≤1时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上单调递增，
∴f（x）_max=f（4）=4+$\frac{a}{4}$，
当a≥16时，
f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=1+a，
当1＜a＜16时，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，此时1＜$\sqrt{a}$＜4，
当f′（x）＞0时，即$\sqrt{a}$＜x≤4时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即1≤x＜$\sqrt{a}$时，函数单调递减，
若1+a≥4+a，即4≤a＜16时，f（x）_max=f（1）=1+a，
若1+a＜4+a，即1＜a＜4时，f（x）_max=f（4）=4+$\frac{a}{4}$，
综上所述：当0＜a≤4时，f（x）_max=4+$\frac{a}{4}$，
当a＞4时，f（x）_max=1+a，
所以m的取值范围为，当0＜a≤4时，m≥4+$\frac{a}{4}$，
当a＞4时，m≥1+a．

点评 本题考查了函数的单调性和函数的最值的关系，以及分类讨论的思想，属于中档题．