Question

14．已知公差为1的等差数列{a_n}的前n项和为S_n且S₃=2a₃，令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设a_n=a₁+n-1，利用S₃=2a₃计算可知首项a₁=1，进而可得结论；
（2）通过（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意可知a_n=a₁+n-1，
∵S₃=2a₃，
∴S₂=a₃，即a₁+a₁+1=a₁+2，
∴a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．