Question

4．定义在R上的奇函数f（x）对一切x∈（-∞，0]恒满足′（x）≥0，若不等式f（m•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在（-∞，0]递增，由奇函数的性质可得，f（x）在R上递增，原不等式即为f（m•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），即有m•3^x＜9^x-3^x+2，令t=3^x（t＞0），转化为t的不等式，运用参数分离和基本不等式可得最小值，进而得到m的范围．

解答 解：对一切x∈（-∞，0]恒满足f′（x）≥0，
即有f（x）在（-∞，0]递增，
由奇函数的性质可得，f（x）在R上递增，
f（m•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，即为
f（m•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（9^x-3^x+2），
即有m•3^x＜9^x-3^x+2，
令t=3^x（t＞0），即有mt＜t²-t+2，
则m＜t+$\frac{2}{t}$-1的最小值，由t+$\frac{2}{t}$-1≥2$\sqrt{2}$-1．
当且仅当t=$\sqrt{2}$时，取得最小值．
则m＜2$\sqrt{2}$-1．即m的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查奇函数的定义和性质，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，属于中档题．