Question

4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F，M，S分别为棱PB，AD，AB，CD的中点，G为线段EM的中点，且PA=AB=2AD=4，N为SM上一点，且NG∥平面CEF．
（1）确定N的位置，并求线段NG的长；
（2）平面CEF与PA交于点K，求三棱锥B-CKN的体积．

Answer 1

分析 （1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．从而EM∥PA，进而EM⊥底面ABCD，由此能求出NG的长．
（2）延长CF交BA的延长线于点Q，连结EQ，则点K为PA与QE的交点，由题意△AKQ∽△MEQ，由此能求出三棱锥B-CKN的体积．

解答 解：（1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．
证明如下：
∵NG∥平面CEF，且平面CEF∩平面MOE=EO，
∴NG∥OE，又G为线段EM的中点，则N为OM的中点，
∵E为棱PB的中点，∴EM∥PA，
又PA⊥底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD，
则EM⊥OM，∵OM=$\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，EM=2，
∴NG=$\frac{1}{2}OE$=$\frac{1}{2}\sqrt{O{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{5}{4}$．
（2）延长CF交BA的延长线于点Q，
∵AF∥BC，且BC=2AF，∴A为QB的中点，
连结EQ，则点K为PA与QE的交点，
由题意△AKQ∽△MEQ，∴$\frac{AK}{EM}=\frac{QA}{QM}=\frac{4}{4+2}=\frac{2}{3}$，
∴AK=$\frac{2}{3}EM=\frac{4}{3}$，
∵△BCN的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴三棱锥B-CKN的体积V_B-CKN=V_K-BCN=$\frac{1}{3}×AK×2=\frac{8}{9}$．

点评 本题考查点的位置的确定，考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．