题目内容
已知函数f（x）=-sin2x-
（1-2sin2x）+1．
（1）求f（x）的最小正周期及其单调减区间；
（2）当x∈[-
，
]时，求f（x）的值域．
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（1）求f（x）的最小正周期及其单调减区间；
（2）当x∈[-
| π |
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考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为-2sin（2x+
）=1，由此可得函数的最小正周期．函数f（x）的减区间，即为y=sin（2x+
）的增区间．令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即为所求．
（2）根据x∈[-
，
]，利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2x+
）的范围，可得f（x）的值域．
| π |
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| π |
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| 2 |
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（2）根据x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
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解答：
解：（1）由于函数f（x）=-sin2x-
（1-2sin2x）+1=-sin2x-
cos2x+1=-2sin（2x+
）=1．
故函数的最小正周期
，函数f（x）的减区间，即为y=sin（2x+
）的增区间．
令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，
可得函数f（x）的减区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
（2）因为x∈[-
，
]，所以，2x+
∈[0，
]，所以，sin（2x+
）∈[0，1]，
所以，f（x）=-2sin（2x+
）+1∈[-1，1]，所以，f（x）的值域为[-1，1]．
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| π |
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故函数的最小正周期
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令 2kπ-
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| 5π |
| 12 |
| π |
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可得函数f（x）的减区间为[kπ-
| 5π |
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| π |
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（2）因为x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
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| π |
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所以，f（x）=-2sin（2x+
| π |
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点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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