Question

20．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥9$；
（2）$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}≥\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$），运用三元均值不等式，即可得证；
（2）由$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），运用三元均值不等式，即可得证．

解答 证明：（1）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$
=9，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时，取得等号；
（2）2=（a+b）+（b+c）+（a+c），
则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
≥$\frac{1}{2}$•3$\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$•3$\root{3}{\frac{1}{（a+b）（b+c）（c+a）}}$=$\frac{9}{2}$．
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式的运用，以及满足的条件：一正二定三等，考查推理能力，属于中档题．