Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，结合sinA≠0，可求tanB=$\sqrt{3}$，即可得B的值．
（2）由已知可得：bsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，利用三角形面积公式可求ac=4，可求c，进而利用余弦定理可求b的值．

解答 解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
∴由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴得tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，可得：bsinA=$\sqrt{3}$acosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，可得ac=4，
∴c=2，
∴由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×\frac{1}{2}}$=2．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．