Question

16．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x²-2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（　　）

• A． （-∞，2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（-x）=f（x），则f（x+1）＞3可变为f（|x+1|）＞3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+1|的范围，再求x范围即可．

解答 解：设x＞0，则-x＜0，
因为当x≤0时，f（x）=x²-2x，
所以f（-x）=x²+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=x²+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（|x+1|）=f（x+1），
则f（x+1）＞3可化为f（|x+1|）＞3，即|x+1|²+2|x+1|＞3，（|x+1|+3）（|x+1|-1）＞0，
所以|x+1|＞1，解得：x＞0或x＜-2，
所以不等式f（x+1）＞3的解集是{x|x＞0或x＜-2}，
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．