题目内容

设向量 $数学公式$ ，b=（cosx，cosx），记f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）画出函数f（x）在区间 $数学公式$ 的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（Ⅲ）若 $数学公式$ 时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．

解：（Ⅰ）由题意可得： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
所以最小正周期 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	π	$\text{[math]}$	2π
sin（ $\text{[math]}$ ）	0	1	0	-1	0
y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

将函数y=sinx的图象向左平移 $\text{[math]}$ 单位得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的 $\text{[math]}$ 得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，最后再向上平移 $\text{[math]}$ 个单位得到就可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象．
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
又因为函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，
所以m=2．
所以函数g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时，函数g（x）取得最大值 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）通过数量积的运算，并且结合两角和的正弦公式可得f（x）= $\text{[math]}$ ，进而求出函数的周期．
（II）根据整体 $\text{[math]}$ 与x的范围，取值列表，描点，连线进而得到很多的图象．
（III）根据题意可得 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．结合题意求出m=2，，所以g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．并且此时 $\text{[math]}$ ．
点评：熟练掌握数量积的运算律，以及熟练掌握三角函数的有关性质，如周期性，单调性，奇偶性，对称性等性质，这也是近几年高考题中的常见题型．?