Question

设直线l₁的方向向量是：

a

=(1+cosα，sinα)，α∈(0，π)，直线l₂的方向向量为

b

=(1-cosβ，sinβ)，β∈（π，2π），直线l₃的方向得量是

c

=(1，0)，l₁与l₃的夹角为θ₁，l₂到l₃的角为θ₂，若θ1-θ2=

π

6

，试求sin(π+

α-β

4

)的值．

Answer 1

分析：根据直线的方向向量分别求出直线的斜率，再根据到角、夹角公式将θ1-θ2=

π

6

，转化为α，β的关系，整体代入求解．

解答：解：由题意得l₁的斜率k1=

sinα

1+cosα

=

2sin α 2 cos α 2

1+2cos2 α 2 -1

=tan

α

2

，
∵l₃的方向向量是

c

=(1，0)，
∴k₃=0，
∴l₁与l₃的夹角为tanθ₁=|tan

α

2

|，又α∈（0，π），
∴θ₁=

α

2

l₂的斜率k2=

sinβ

1-cosβ

=

2sin β 2 cos β 2

1-(1-2sin2 β 2 )

=cot

β

2

∴l₂到l₃的角tanθ₂=-cot

β

2

，
∵β∈（π，2π），
∴θ₂=

β

2

-

π

2

∵θ1-θ2=

π

6

，
∴

α

2

-（

β

2

-

π

2

）=

π

6

，
∴

α-β

2

=-

π

3

，
∴sin(π+

α-β

4

)=-sin(

α-β

4

)=-sin(-

π

6

)=

1

2

点评：本题考查直线的方向向量的集合意义，直线到角、夹角公式，以及三角函数式的化简求值．