题目内容

已知函数F(x)=
3x-2
2x-1
(x≠
1
2
)
（1）求F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)；
（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式；
（3） 求证：a1a2a3…an＞
2n+1
．
（1）因为F(x)+F(1-x)=
3x-2
2x-1
+
3(1-x)-2
2(1-x)-1
=3，
所以由倒序相加可得：2[F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)]
=[F（
1
2011
）+F（
2010
2011
）]+…+[F（
2010
2011
）+F（
1
2011
）]
=3×2010=6030，
则F(
1
2011
)+F(
2
2011
)+…+F(
2010
2011
)=3015；
（2）由an+1=F（an），两边同时减去1，得an+1-1=
an-1
2an-1
，
所以
1
an+1-1
=
2an-1
an-1
=2+
1
an-1
，
故{
1
an-1
}是以2为公差、1为首项得等差数列．
所以
1
an-1
=2n-1，由此an=
2n
2n-1

（3）因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1），
所以
2n
2n-1
＞
2n+1
2n
，于是
2
1
＞
3
2
，
4
3
＞
5
4
，…，
2n
2n-1
＞
2n+1
2n

所以a1a2…an=
(a1a2…an)2
=
2
1
•
2
1
•
4
3
•
4
3
…
2n
2n-1
•
2n
2n-1

＞
2
1
•
3
2
•
4
3
…
2n
2n-1
•
2n+1
2n
=
2n+1
．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
(3-a)x-3 (x≤7)
ax-6??? (x＞7)
，数列an满足an=f（n）（n∈N*），且an是递增数列，则实数a的取值范围是
 
已知函数f(x)=
3-ax
，若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是
 
．
已知函数f(x)=3-2sin2ωx-2cos(ωx+
π
2
)cosωx(0＜ω≤2)的图象过点(
π
16
，2+
2
)．
（Ⅰ）求ω的值及使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）该函数的图象可由函数y=
2
sin4x(x∈R)的图象经过怎样的变换得出？
已知函数f(x)=|3-
1x
|，x∈(0，+∞)．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，b（0＜a＜b）使函数y=f（x）定义域值域均为[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
已知函数f(x-
π
3
)=sinx，则f(π)等于（　　）

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