Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，cos4ωx），$\overrightarrow{b}$=（sin4ωx，1）（ω＞0），令f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$且f（x）的周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]时f（x）+m≤2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又f（x）的周期为$\frac{π}{2}$，可以求出ω=1从而求出的f（x）解析式．
（2）根据所给的定义域求求出f（x）的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数m的取值范围．

解答 解：由题意：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
∴f（x）=$\sqrt{3}sin4ωx$+cos4ωx
=2sin（4ωx$+\frac{π}{6}$）
∵f（x）的周期为$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{4ω}$=$\frac{π}{2}$，
解得：ω=1
所以函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（4x$+\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（4x$+\frac{π}{6}$）；
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，则4x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
∴sin（4x$+\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
则函数f（x）∈[-1，2]
要使f（x）+m≤2恒成立，只需2+m≤2即可．
解得：m≤0．
所以实数m的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了向量的乘积的运算和三角函数的化简，解析式的求法以及三角函数的性质的运用．属于中档题．