Question

7．已知圆 x²+y²+2x-4y+1=0，关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）对称，则$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$5+2\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）经过圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心（-1，2），从而a+b=1，进而$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b），由此能求出$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：∵圆 x²+y²+2x-4y+1=0，关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）对称，
∴直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）经过圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=$\frac{2a}{b}+\frac{3b}{a}+5$≥2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{3b}{a}}$+5=5+2$\sqrt{6}$．
当且仅当$\frac{2a}{2}=\frac{3b}{a}$时取等号，
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$5+2\sqrt{6}$．
故答案为：$5+2\sqrt{6}$．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和基本不等式的合理运用．