Question

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S_n=12n-n²．
（1）求|a₁|+|a₂|+|a₃|；
（2）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|；
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=13-2n．当1≤n≤6时，a_n＞0；当n≥7时，a_n＜0．由此得到|a₁|+|a₂|+|a₃|=S₃．
（2）由（1）得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|=2S₆-S₁₀，由此能求出结果．
（3）由（1）知当1≤n≤6时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=S_n；当n≥7时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=2S₆-S_n．

解答： 解：（1）∵S_n=12n-n²．∴当n=1时，a₁=S₁=12-1=11，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（12n-n²）-12（n-1）+（n-1）²=13-2n．
当n=1时，13-2×1=11=a₁，∴a_n=13-2n．
由a_n=13-2n≥0，得n≤

13

2

，
∴当1≤n≤6时，a_n＞0；当n≥7时，a_n＜0．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|=S₃=12×3-3²=27．
（2）|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|
=2S₆-S₁₀
=2（12×6-6²）-（12×10-10²）
=52．
（3）当1≤n≤6时，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=S_n=12n-n²，
当n≥7时，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=2S₆-S_n
=n²-12n+72．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

12n-n2，1≤n≤6 n2-12n+72，n≥7

．

点评：本题考查数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．