Question

如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.

（1）起初，两人的距离是多少？

（2）用t表示t小时后两人的距离；

（3）什么时候两人的距离最短？

Answer 1

（1）甲、乙两人起初的距离是km（2）|PQ|=（3）在第15分钟末，两人的距离最短

解析:

（1）设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理：

|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos60°

=3²+1²-2×3×1×=7,∴|AB|=.

所以甲、乙两人起初的距离是km.

（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，

则|AP|=4t，|BQ|=4t，

当0≤t≤时，由余弦定理

|PQ|²=（3-4t）²+（1+4t）²-2（3-4t）（1+4t）·cos60°，

当t＞时，

|PQ|²=（4t-3）²+（1+4t）²-2（4t-3）（1+4t）cos120°.

注意到上面两式实际上是统一的，

所以|PQ|²=（16t²-24t+9）+（16t²+8t+1）+（16t²-8t-3）=48t²-24t+7，

即|PQ|=.

（3）∵|PQ|=，

∴当t=时，|PQ|的最小值是2.

即在第15分钟末，两人的距离最短.