Question

如图所示，有两条相交成60°的直线xx′、yy′，其交点是O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30 km，乙离O点10 km，后来两车均以60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）t小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？

Answer 1

分析：（1）先设甲、乙两车最初的位置为A、B，将距离转化为向量问题，然后利用向量的数量积运算求甲乙两车的距离．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，则|

AP

|=60t，|

BQ

|=60t．利用余弦定理可得即|

PQ

|=10

108t2-36t+7

km．
（3）由（2）得关于PQ的表达式，通过利用二次函数可探讨其最大值．

解答：解：（1）设甲、乙两车最初的位置为A、B，
则|

AB

|2=|(

OA

)|²+|(

OB

)|²-2|(

OA

)||(

OB

)|cos60°=700．
故|

AB

|=

700

km=10

7

km．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，
则|

AP

|=60t，|

BQ

|=60t．
当0≤t≤

1

2

时，|

PQ

|2=（30-60t）²+（10+60t）²-2（30-60t）（10+60t）cos60°；
当t＞

1

2

时，|

PQ

|2=（60t-30）²+（10+60t）²-2（60t-30）（10+60t）cos120°．
上面两式可统一为|

PQ

|2=10800t²-3600t+700，
即|

PQ

|=10

108t2-36t+7

km．
（3）因为|

PQ

|=10

108t2-36t+7

，
故当t=

1

6

，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为20km．

点评：本题考查了向量在物理中的应用及余弦定理，通过设点将物理问题转化为数学问题，灵活的考查了学生分析问题解问题的能了，是个中档题．