Question

如图所示，有两条相交成60°角的直线xx′，y′y，交点是O，甲、乙分别在ox，oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离？
（3）什么时候两人的距离最短？

Answer 1

分析：（1）连接AB，在三角形OAB中，过A作出OB边上的高AD，利用三角函数求出AB即可；
（2）设两人的距离为ykm根据题意分两种情况讨论即A与O不重合，A和O重合，分别利用三角函数求出AB即可得到y的解析式；（3）利用二次函数求最小值的方法求出y的最小值即可．

解答：解：（1）连接AB，在三角形OAB中，过A作出OB边上的高AD，
在直角三角形OAD中，OA=3，OB=1，
因为∠AOB=60°
所以BD=1.5-1=0.5，AD=OAsin60°=

3 3

2

，
则根据勾股定理得AB=

7

km；
（2）①A在O的右边，则t小时走的路为4t，和（1）计算方法一样，
得AB=

48t2-24t+ 117 36

，且0≤t＜

3

4

；
②A和O重合时，AB=4t+1，t=

3

4

；
③A在O的左边，AB=

( 1-4t 2 +4t-3)2+( 3 +4 3 t 2 )2

，
（3）因为AB=

48t2-24t+ 117 36

且0≤t＜

3

4

，设m=48t²-24t+

117

36

，
求出m在[0，

3

4

）的最小值为m（0）=

117

36

，
所以AB的最小值为

7

．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，利用三角函数解直角三角形的能力，以及利用二次函数求最值的能力．