题目内容
3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{ax}}$，g（x）=eaxf′（x）在[0，2]上单调递增（a＞0）．（1）求a的最大值；
（2）在a取最大值的条件下，求证：当x1+x2=6且0＜x1＜3时，有f（x1）＜f（x2）．
分析 （1）求导，在[0，2]上单调递增（a＞0），得导函数g'（x）＞0，求出a的最大值．
（2）构造函数h（x）=3lnx-3ln（6-x）-2x+6，求出导函数，利用导函数判断函数h（x）的单调性，进而得出
h（x1）＜0，从而得出结论．
解答 解：（1）g（x）=eaxf′（x）
=3x2-ax3
∴g'（x）=6x-3ax2
=-3x（ax-2）
在[0，2]上单调递增（a＞0）
∴$\frac{2}{a}$≥2
∴a≤1
故a的最大值为1；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{3}}{{e}^{x}}$
令h（x）=3lnx-3ln（6-x）-2x+6 x∈（0，3）
∴h'（x）=$\frac{3}{x}$+$\frac{3}{6-x}$-2
=$\frac{2（x-3）^{2}}{x（6-x）}$
当 x∈（0，3）时，h'（x）＞0，h（x）递增
∴h（x）＜h（3）=0
∵0＜x1＜3
∴h（x1）＜0
∴3lnx1-3lnx2-x1+6-x1＜0
即ln$\frac{{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{2}}^{3}}$＜x1-x2
∴f（x2）＞f（x1）
点评 考察了导函数的正负与原函数单调性的关系和利用构造函数的方法证明问题．
练习册系列答案
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13．小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会．在理论考试环节，若第1此考试通过，则直接进入操作考试；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次为通过，则进行第2此考试，第2次通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为$\frac{3}{4}$，每次操作考试通过的概率为$\frac{2}{3}$，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中，共参加3次考试的概率是（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{3}{8}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
