Question

1．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（1）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1-$\frac{1}{x}$）；
（2）在区间（1，e）上$\frac{f（x）}{x-1}$＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）的最小值，证出结论即可；
（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定出a的范围即可．

解答 解：（1）证明：令$g（x）=f（x）-a（1-\frac{1}{x}）=a（lnx-1+\frac{1}{x}）$；
则函数的导数$g'（x）=a（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）$．
令g'（x）＞0，即$a（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）＞0$，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴g（x）最小值为g（1）=0，故$f（x）≥a（1-\frac{1}{x}）$成立．…（5分）
（2）令h（x）=alnx+1-x，则$h'（x）=\frac{2}{x}-1$，
令h'（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．
当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1．…（10分）
当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1-e＜0不合题意，…（11分）
综上，a≥e-1．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．