Question

【题目】设函数、满足关系，其中是常数.

（1）设，，求的解析式；

（2）是否存在函数及常数（）使得恒成立？若存在，请你设计出函数及常数；不存在，请说明理由；

（3）已知时，总有成立，设函数（）且，对任意，试比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.

【解析】

（1）由f（x）的解析式求出f（x+α）的解析式，相乘后得到函数g（x）的解析式；

（2）由逆向思维可知f（x）f（x+α）＝sinxcosx，由此可得函数f（x）及一个α；

（3）由给出的f（x）求出g（x），从而求出sin[g（x）]与g（sinx），借助于可得答案．

（1）∵f（x）＝cosx+sinx，

∴f（x+α）＝cosx﹣sinx；

∴g（x）＝f（x）f（x+α）＝（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）

＝cos2x﹣sin2x＝cos2x；

（2）∵g（x）sin2x＝2sinxcosx，

若f（x）＝sinx，则f（x+α）＝sin（x+α）＝cosx

∴f（x）＝sinx，常数；

也可以设f（x）＝cosx，则f（x+α）＝cos（x+α）＝sinx

∴f（x）＝cosx，常数；

∴当时，；当时，；

（3）由题意g（x）＝kx，sin[g（x）]＝sinkx，g（sinx）＝ksinx

又0＜k＜1，所以，

则，所以sinkx＞ksinx，

即sin[g（x）]＞g（sinx）．