Question

【题目】如图是函数一个周期内的图象，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.

（1）求函数和的解析式；

（2）若，求的所有可能的值；

（3）求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或1；（3）当时，；当时，；当时，171.

【解析】

（1）由三角函数图象求得，，，再由三角函数图象的平移可得；

（2）由，解得或,再求解即可；

（3）先解得，再讨论与1的大小关系，再解三角方程，结合正弦函数图象的对称性求各零点之和即可.

解：（1）由图可知,,即，即，

则，又，又，所以，

故，

将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数解析式为，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，

即，；

（2）当，即，解得即或,即或或（）

当时，所以，

当时，，

当时，，

故的所有可能的值为或1；

（3）令，即，即，

解得，又因为，又，所以 ，

当时，由函数的对称轴方程可得在，()有两个解，且两解之和,

则在的根之和为，

当 ，即时，方程无解，

当 ，即时，方程的解为 ，(),则在的根之和为，

当 ，即时，方程在，()有两个解，且两解之和,

则在的根之和为，

综上可得：当时，函数在区间内的所有零点之和为.

当时，函数在区间内的所有零点之和为.

当时，函数在区间内的所有零点之和为.