Question

3．如图，在周长为60πcm的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B、C、D在圆周上．
（Ⅰ）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（Ⅱ）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的周长可得半径r=30，连接AC，设∠BAC=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），即有AB=60cosα，AD=60sinα，运用矩形的面积公式和二倍角的正弦，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值；
（Ⅱ）运用圆柱的体积公式可得圆柱形罐子体积为V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），由sin²αcos⁴α=$\frac{1}{2}$•2sin²α•cos²α•cos²α，运用三元基本不等式即可得到所求的最大值．

解答 解：（Ⅰ）周长为60πcm，即有2πr=60π，
解得r=30，即有AC=60，
连接AC，设∠BAC=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
即有AB=60cosα，AD=60sinα，
则矩形ABCD的面积为S=AB•AD=3600sinαcosα=1800sin2α，
当sin2α=1，即α=$\frac{π}{4}$时，矩形的面积取得最大值，且为1800cm²；
故与直径成$\frac{π}{4}$的角，截取可得矩形的面积最大，且为1800cm²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得AB=60cosα，AD=60sinα，
设60cosα=2πr，可得r=$\frac{30cosα}{π}$，
即有圆柱形罐子体积为V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
由sin²αcos⁴α=$\frac{1}{2}$•2sin²α•cos²α•cos²α≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+co{s}^{2}α}{3}$）³
=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{27}$=$\frac{4}{27}$，当且仅当2sin²α=cos²α，即为tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，取得最大值．
故与直径成α角，且tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，截取得到的矩形，卷成圆柱，
体积取得最大值，且为$\frac{12000\sqrt{3}}{π}$cm³．

点评 本题考查函数模型的应用题的解法，考查三角函数的恒等变换的运用，以及正弦函数的值域和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．