Question

如图所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；

(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的表面积（不必写出计算过程）.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）拼接成的长方体的表面积为16或.

解析:

连结，底面，平面，

∴.    ，分别为棱的中点，

∴.，

∴Rt△ Rt△.∴.

,∴.

∴.   ∴

，∴平面.

∴.   ，∴平面.                                      

平面，∴. 同理可证.                                     

，∴平面.                                        

（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16. 

                                                            

                              图甲                            图①

切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为.