Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
（1）画出该三棱柱的三视图，并标明尺寸；
（2）求三棱锥A₁-AB₁C₁的体积；
（3）若D是棱CC₁的中点，则当点E在棱AB何处时，DE∥平面AB₁C₁？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据三视图的画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”即可画出；
（2）通过等积变形及三棱锥与同底等高的三棱柱的体积关系即可得出；
（3）通过面面平行即可得到线面平行．

解答：解：（1）三视图如图所示：
（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴由勾股定理得AC=

3

．
又∵AA1=

3

，AA₁⊥平面ABC，∴矩形ACC₁A₁为正方形．
∴VA1-AB1C1=VA-A1B1C1=

1

3

VABC-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×

3

×1×

3

=

1

2

．
（3）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁．
证明如下：
如图，取BB₁的中点F，连EF、DF、DE，
∵D、E、F分别为CC₁、AB、BB₁的中点，
∴EF∥AB₁．
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．
同理可证FD∥平面AB₁C₁．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB₁C₁．
∵DE?平面EFD，
∴DE∥平面AB₁C₁．

点评：熟练掌握三视图的画法规则、等积变形及利用面面平行证明线面平行是解题的关键．