Question

已知点M（3，1），直线l：ax-y+4=0及圆C：x²+y²-2x-4y+1=0．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

，求a的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）首先不远的一般式转化为顶点式，再把直线方程分两种情况进行讨论：①斜率存在②斜率不存在的方程，然后求出方程．
（2）分别用勾股定理和圆心到直线的距离建立等量关系求出a的值．

解答： 解：（1）圆C的方程化为（x-1）²+（y-2）²=4，圆心C（1，2），半径是2．
①当切线斜率存在时，设切线方程为，y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0
∵d=

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，∴k=

3

4

，
②当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3也与圆C相切，
所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．
（2）∵点C到直线l的距离利用勾股定理得：d=

r2-( AB 2 )2

=

4-3

=1
同时利用圆心到直线的距离：d=

|a-2+4|

a2+1

=1，
解方程得：a=-

3

4

．

点评：本题考查的知识点：圆的一般式与顶点式的转化，圆与直线相切的两种情况：①斜率存在②斜率不存在的方程，圆心到直线的距离的应用，弦心距的应用．