Question

“过点（0，1）的直线l与双曲线x2-

y2

3

=1有且仅有一个公共点”是“直线l的斜率k的值为±2”的（　　）

• A、充分必要条件
• B、充分但不必要条件
• C、必要但不充分条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：根据直线和双曲线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：设过（0，1）的直线斜率为k，则对应的直线方程为：y-1=kx，即y=kx+1，
代入双曲线方程x2-

y2

3

=1得x²-

1

3

（kx+1）²=1，
整理得（3-k²）x²-2kx-4=0，
当3-k²=0，即k=±

3

时，方程有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行，
当3-k²≠0，要使直线l与双曲线x2-

y2

3

=1有且仅有一个公共点，
则△=4k²+16（3-k²）=0，
即k²=4，解得k=±2，
即过点（0，1）的直线l与双曲线x2-

y2

3

=1有且仅有一个公共点”时，k=±2或k=±

3

，
∴“过点（0，1）的直线l与双曲线x2-y2=

1

3

有且仅有一个公共点”是“直线l的斜率k的值为±2”的必要不充分条件，
故选：C．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式之间的关系是解决本题的关键．