Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的实数x₁≠x₂（x₁＞0，x₂＞0）时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，如果实数t满足f（lnt）-f（1）≤f（1）-f（ln

1

t

），那么t的取值范围是（　　）

• A、（0，e]
• B、[0，

  1

  e

  ]
• C、[1，e]
• D、[

  1

  e

  ，e]

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是偶函数得到不等式f（lnt）≤f（1）．等价为f（|lnt|）≤f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴如果实数t满足f（lnt）-f（1）≤f（1）-f（ln

1

t

），
∴f（lnt）+f（ln

1

t

）=f（lnt）+f（-lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），
∴不等式f（lnt）+f（ln

1

t

）≤2f（1）等价为2f（lnt）≤2f（1），
即f（lnt）≤f（1）．
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．
∴不等式f（lnt）≤f（1）等价为f（|lnt|）≤f（1）．
即|lnt|≤1，
∴-1≤lnt≤1，
解得

1

e

≤t≤e
即实数m的取值范围是

1

e

≤t≤e，
故选：D

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）=f（|a|）是解决偶函数问题的关键．先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点．