Question

（2013•金山区一模）若实数a、b、c成等差数列，点P（-1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是

4-

2

．

Answer 1

分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，-2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，-1），且半径为

2

．求得点N到圆心C的距离，
再减去半径，即得所求．

解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a-2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，-2）．
由于点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，-1），且半径为

PQ

2

=

2

，
再由点N到圆心C的距离为 NC=4，所以线段MN的最小值为 NC-r=4-

2

，
故答案为 4-

2

．

点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．