Question

5．已知圆心为C 的圆经过点A（-3，2）和点B（1，0），且圆心C在直线y=x+1上．
（1）求圆C的标准方程．
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN 的中点G的轨迹方程；
（3）若直线x-y+m=0与圆C交于A B两点，当OA⊥OB 时（其中O为坐标原点），求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．
（2）设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程；
（3）假设存在满足条件的直线l并设出其方程和点A，B的坐标，联立圆的方程和直线方程消元后得到一元二次方程，再由韦达定理，OA⊥OB列出关系式，求出m的值．

解答 解：（1）∵圆心在直线y=x+1上，
∴设圆心坐标为C（a，a+1），
根据A（-3，2）和点B（1，0），在圆上，可得（x+3）²+（a-1）²=（a-1）²+（a+1）²，
解之得a=-2，
∴圆心坐标为C（-2，-1），半径r=$\sqrt{10}$，
因此，此圆的标准方程是（x+2）²+（y+1）²=10．
（2）设N（x₁，y₁），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得x₁=2x-3，y₁=2y-4，
∵N在圆C上，∴（2x-1）²+（2y-2）²=10，
∴点G的轨迹方程是${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．
（3）由直线x-y+m=0与圆联立得2x²+（2m+6）x+m²+2m-5=0，
x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+2m-5}{2}$①，
可得：y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4m-5}{2}$②；
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化简得，m²-m-5=0，
解得$m=\frac{{1±\sqrt{21}}}{2}$．

点评 本题是直线与圆的方程综合性题，考查了用待定系数法求圆的方程，用代入法求动点的轨迹方程；对于存在性的处理方法，先假设存在再由题意用设而不求思想和韦达定理列出关系式，注意验证所求值的范围．