Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意实数a、b，都有f（a+b）=f（a）+f（b），当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）求证：函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）若不等式f（mx²-x+1）＜-f（x²-mx）对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由条件得f（x₂-x₁）＜0，再由条件可得f（x₂）＜f（x₁），即可得证；
（2）求出f（0）=0，由单调性原不等式即为）（m+1）x²-（m+1）x+1＞0．讨论m+1=0，m+1＞0，且判别式小于0，解出即可．

解答： （1）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂）＜f（x₁），
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）解：f（0）=2f（0），则f（0）=0．
不等式f（mx²-x+1）＜-f（x²-mx）?f（mx²-x+1）+f（x²-mx）＜f（0）
?f[（m+1）x²-（m+1）x+1]＜f（0）?（m+1）x²-（m+1）x+1＞0．
①当m=-1时，1＞0，显然成立；
②m≠-1，则m＞-1且△=（m+1）²-4（m+1）＜0，解得-1＜m＜3．
综上，实数m的取值范围是[-1，3）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性，注意运用定义，考查不等式的恒成立问题，注意二次不等式讨论二次项系数，及判别式的符号，属于中档题．