Question

已知函数f（x）=lg（（x-1）|ax-1|），
（a∈R）在其定义域上为单调函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：对a讨论，当a=0时，当a＜0时，当a＞0时，结合复合函数的单调性：同增异减，异减一次函数和二次函数的单调性，即可得到a的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=lg（（x-1）|ax-1|），
由（x-1）|ax-1|＞0，
当a=0时，解得x＞1，则f（x）=lg（x-1）在x＞1上递增，成立；
当a＜0时，定义域为（1，+∞），f（x）=lg（x-1）（1-ax），
令t=（x-1）（1-ax）=-ax²+（a+1）x-1，在x＞1递增，由y=lgt递增，可得f（x）递增，成立；
当a＞0时，由（x-1）|ax-1|＞0，解得x＞1且x≠

1

a

，
当x≥

1

a

时，（x-1）|ax-1|=（x-1）（ax-1），若

1

a

＞1，在x＞1不为单调函数，
当

1

a

≤1，即a≥1，在x＞1为递增函数；
当x＜

1

a

时，y=（x-1）|ax-1|=（x-1）（1-ax），由于抛物线开口向下，在（1，

1

a

）先增后减，则不成立．
综上可得，a的取值范围是a≤0或a≥1．
故答案为：（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查二次函数和对数函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．