Question

3．在△ABC中，M是BC的中点，BM=2，AM=AB-AC，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．

解答 解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB=$\frac{{c}^{2}+4-（c-b）^{2}}{4c}$．
在△ABC中，由余弦定理得：cosB=$\frac{{c}^{2}+16-{b}^{2}}{8c}$．
∴$\frac{{c}^{2}+4-（c-b）^{2}}{4c}$=$\frac{{c}^{2}+16-{b}^{2}}{8c}$．
即b²+c²=4bc-8．
∴cosA=$\frac{2bc-12}{bc}$，∴sinA=$\sqrt{1-（2-\frac{12}{bc}）^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$．
∴当bc=8时，S取得最大值2$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了余弦定理的应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．