Question

12．设椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线OB交椭圆E于点C，若直线FB平分线段AC，则椭圆E的离心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角形的中位线定理，根据三角形的相似，求得a和C的关系，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，
∴△OFM∽△AFB，
且$\frac{丨OF丨}{丨FA丨}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a-c}$=$\frac{1}{2}$，
整理得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查相似三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．