Question

8．设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若向量$\overrightarrow m=（{1-cos（A+B），cos\frac{A-B}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{5}{8}，cos\frac{A-B}{2}}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\frac{9}{8}$．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求$\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式，求得tanA•tanB的值．
（2）利用诱导公式、余弦定理、基本不等式求得tan（A+B）的最小值，可得$\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$=$\frac{1}{2}$tanC的最大值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\frac{9}{8}$得，$\frac{5}{8}[{1-cos（{A+B}）}]+{cos^2}（{\frac{A-B}{2}}）=\frac{9}{8}$，
即4cos（A-B）=5cos（A+B），解得，$tanA•tanB=\frac{1}{9}$．
（2）因为$\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$=$\frac{absinC}{2abcosC}=\frac{1}{2}tanC$，
又$tan（{A+B}）=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{9}{8}（{tanA+tanB}）$$≥\frac{9}{8}×2\sqrt{tanA•tanB}=\frac{3}{4}$，
所以，tan（A+B）有最小值$\frac{3}{4}$，当且仅当$tanA=tanB=\frac{1}{3}$时，取得最小值．
又tanC=-tan（A+B），则tanC有最大值$-\frac{3}{4}$，故$\frac{{2{S_{△ABC}}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}$的最大值为$-\frac{3}{8}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式，诱导公式、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．