题目内容

若数列{an}的各项为正，且a1=a（0＜a＜1）
（1）若，求an+1的取值范围．
（2）若，求证：
①，
②．
【答案】分析：（1）利用考察函数的单调性，由即可求出an+1的取值范围；
（2）①因为，取倒数得到，从而得出化简即可；
②由①得，得出，结合拆项求和即可证得结论．
解答：解：（1）因为，所以，函数是增函数，
由，
∴．
an+1的取值范围是
（2）①因为，
所以．
所以，即，
所以，
∴，
∴．
②由①，且0＜a＜1．
∴，
∴
点评：本小题主要考查数列递推式、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
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5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
，
1
6
，…，若存在整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
 
．
（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下运算和结论：
①a24=
3
8
；
②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
5
7
．
其中正确的结论是
①③④
①③④
．（将你认为正确的结论序号都填上）
（2009•闵行区一模）已知无穷数列{an}，首项a1=3，其前n项和为Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（a≠0，a≠1，n∈N*）．若数列{an}的各项和为-
8
3
a，则a=
-
1
2
-
1
2
．
若数列{an}的各项为正，且a1=a（0＜a＜1）
（1）若an+1=
an
1+an
，(n∈N*)，0＜an＜1，求an+1的取值范围．
（2）若an+1≤
an
1+an
，(n∈N*)，求证：
①an≤
a
1+(n-1)a
，
②
n
k=1
ak
k+1
＜1．
（2009•闵行区一模）已知无穷数列{an}，其前n项和为Sn，且an=（a+1）Sn+2（a≠0，a≠-1，n∈N*）．若数列{an}的各项和为-a，则a=
-2
-2
．

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