Question

（2009•闵行区一模）已知无穷数列{a_n}，其前n项和为S_n，且a_n=（a+1）S_n+2（a≠0，a≠-1，n∈N^*）．若数列{a_n}的各项和为-a，则a=

-2

．

Answer 1

分析：根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得到无穷数列{a_n}的递推关系式，再根据递推关系式判断数列{a_n}为等比数列，求出
a₁，再利用无穷递缩等比数列的各项和公式求各项和，让其等于-a，即可求出a值．

解答：解：∵a_n=（a+1）S_n+2，①∴a_n-1=（a+1）S_n-1+2  ②
①-②，得，a_n-a_n-1=（a+1）a_n，-aa_n=a_n-1，

an

an-1

=-

1

a

，∴数列{a_n}为等比数列，公比为-

1

a

，
又∵a₁=（a+1）a₁+2，∴a₁=-

2

a

当a=1时，
∴数列{a_n}的各项和

- 2 a

1+ 1 a

，∴

- 2 a

1+ 1 a

=-a，a=1或-2
∵数列{a_n}不存在各项和，∴a=-2
故答案为-2

点评：本题主要考查了数列的通项与前n项和之间的关系，以及无穷递缩等比数列的各项和公式．