Question

若数列{a_n}的各项为正，且a₁=a（0＜a＜1）
（1）若an+1=

an

1+an

，(n∈N*)，0＜an＜1，求a_n+1的取值范围．
（2）若an+1≤

an

1+an

，(n∈N*)，求证：
①an≤

a

1+(n-1)a

，
②

n

k=1

ak

k+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）利用考察函数y=

x

1+x

(0＜x＜1)的单调性，由an+1=

an

1+an

，0＜an＜1即可求出a_n+1的取值范围；
（2）①因为an+1≤

an

1+an

，an＞0(n∈N*)，取倒数得到

1

an+1

-

1

an

≥1，从而得出

1

an

-

1

a1

≥n-1化简即可；
②由①得an≤

a

1+(n-1)a

=

1

1 a -1+n

，得出an＜

1

n

，结合拆项求和即可证得结论．

解答：解：（1）因为y=

x

1+x

=1-

1

1+x

，所以，函数y=

x

1+x

(0＜x＜1)是增函数，
由an+1=

an

1+an

，0＜an＜1，
∴0＜an+1＜

1

2

．
a_n+1的取值范围是(0，

1

2

)
（2）①因为an+1≤

an

1+an

，an＞0(n∈N*)，
所以

1

an+1

≥

1+an

an

=

1

an

+1．
所以

1

an+1

-

1

an

≥1，即

1

an

-

1

an-1

≥1(n∈N*，n≥2)…

1

a2

-

1

a1

≥1，
所以

1

an

-

1

a1

≥n-1，
∴

1

an

≥

1

a1

+n-1=

(n-1)a1+1

a1

，
∴an≤

a

(n-1)a+1

．
②由①an≤

a

1+(n-1)a

=

1

1 a -1+n

，且0＜a＜1．
∴an＜

1

n

，
∴

n

k=1

ak

k+1

＜

n

k=1

1

k(k+1)

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

＜1

点评：本小题主要考查数列递推式、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．