Question

19．已知xe^-f（x）=1-e^-x，0＜x＜m，求证f（x）＜$\frac{m}{2}$．

Answer 1

分析 通过分析只需证明$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$成立即可，通过记g（x）=1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$、求导可知g′（x）=${e}^{-\frac{x}{2}}$（${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$），再通过对h（x）=${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$求导、计算可知h（x）＞h（0）=0，进而可知函数g（x）单调递增，从而1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$＞0，进而证明了$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，利用指数函数的单调性即得结论．

解答 证明：∵xe^-f（x）=1-e^-x，
∴e^-f（x）=$\frac{1}{x}$（1-e^-x），
故只需证：$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，
记g（x）=1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$，则g′（x）=e^-x-${e}^{-\frac{x}{2}}$+$\frac{x}{2}$•${e}^{-\frac{x}{2}}$=${e}^{-\frac{x}{2}}$（${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$），
记h（x）=${e}^{-\frac{x}{2}}$-1+$\frac{x}{2}$，则h′（x）=-$\frac{1}{2}$•${e}^{-\frac{x}{2}}$+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，
∴g（x）=1-e^-x-x•${e}^{-\frac{x}{2}}$＞g（0）=0，
∴$\frac{1}{x}$（1-e^-x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，
从而e^-f（x）＞${e}^{-\frac{x}{2}}$，
∴-f（x）＞-$\frac{x}{2}$，f（x）＜$\frac{x}{2}$，
又∵0＜x＜m，
∴f（x）＜$\frac{x}{2}$＜$\frac{m}{2}$．

点评 本题考查借助函数的单调性证明不等式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．