题目内容
14．某市三家旅游公司在国庆期间推出了“市区一日游”的豪华大巴游活动，由于私家车辆的增多，堵车已经成为旅途中最常见的问题．据统计：甲公司选择的旅游路线堵车的概率为$\frac{1}{4}$．乙、丙两公司选择的旅游路线堵车的概率为p（0＜p＜$\frac{2}{5}$），并且三家公司选择的旅游路线是否堵车相互之间没有影响，且三条路线只有一条路线堵车的概率为$\frac{4}{9}$．（1）求p的值；
（2）求甲、乙、丙三家公司选择的路线中堵车路线数目ξ的分布列与数学期望．
分析 （1）由已知条件利用相互独立事件乘法概率计算公式列出方程，能求出p．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三家公司选择的路线中堵车路线数目ξ的分布列与数学期望．
解答 解：（1）由已知得$\frac{1}{4}$（1-p）2+$\frac{3}{4}（1-p）p=\frac{4}{9}$，
由0≤p≤1，
解得p=$\frac{1}{3}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×2+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{7}{36}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{36}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{7}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
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