Question

设数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9；数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

解：（I）由题意可得数列{a_n}的公差d=（a₅-a₃）=2，
故a₁=a₃-2d=1，故a_n=a₁+2（n-1）=2n-1，
由S_n+b_n=2可得S_n=2-b_n，当n=1时，S₁=2-b₁=b₁，∴b₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1），∴，
∴{b_n}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴b_n=1•=；
（II）由（I）可知c_n==（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
故2T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减可得-T_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2-（2n-1）•2ⁿ
=1-4+（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ
分析：（I）由题意可得数列{a_n}的公差，进而得通项，由S_n+b_n=2可得S_n=2-b_n，当n=1时，可解b₁=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；
（II）由（I）可知c_n==（2n-1）•2^n-1，由错位相减法可求和．
点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．