Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-

1

8

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=（

4

5

）^f（n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，试问数列{b_n}中第几项的值最小？求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-

1

8

结合二次函数的性质，我们构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）由已知中T_n=（

4

5

）^f（n），根据a_n=

Tn

Tn-1

，我们可以求出n≥2时，数列的通项公式，判断a₁=T₁=1是否符合所求的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（3）根据等差中项的定义，及5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，我们易判断数列{b_n}的单调性，进而求出数列{b_n}的最小值，及对应的项数．

解答：解：（1）由题知：

a+b=0 a＞0 - b2 4a =- 1 8

，
解得

a= 1 2 b=- 1 2

，
故f（x）=

1

2

x²-

1

2

x．…（4分）
（2）T_n=a₁•a₂•…•a_n=(

4

5

)

n2-n

2

，
T_n-1=a₁•a₂•…•a_n-1=(

4

5

)

(n-1)2-(n-1)

2

（n≥2）
∴a_n=

Tn

Tn-1

=(

4

5

)n-1（n≥2），
又a₁=T₁=1满足上式．
所以a_n=(

4

5

)n-1．…（9分）（验证a₁1分）
（3）若5f（a_n）是b_n与a的等差中项，则2×5f（a_n）=b_n+a_n，
从而10(

1

2

a

2 n

-

a

n

)=b_n+a_n，
b_n=5a_n²-6a_n=5(an-

3

5

)2-

9

5

．
因为a_n=(

4

5

)n-1是n的减函数，所以
当a_n≥

3

5

，即n≤3时，b_n随n的增大而减小，此时最小值为b₃；
当a_n＜

3

5

，即n≥4时，b_n随n的增大而增大，此时最小值为b₄．
又|a₃-

3

5

|＜|a₄-

3

5

|，所以b₃＜b₄，即数列{b_n}中b₃最小，且b₃=-

224

125

．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，数列的函数特性，等比数列的通项公式，其中熟练掌握数列问题的处理方法，如a_n=

Tn

Tn-1

，等差中项，是解答本题的关键．